Дано: ▲АВС, биссектрисы углов А и С пересекаются в т. М, ∟А = 64°, ∟С = 42°.

Найти ∟ АМС.

Решение.

Биссектриса делит угол пополам, поэтому ∟МАС = 64° / 2 = 32°, ∟АСМ =42° / 2 = 21°. Сумма углов треугольника АМС равна 180°.  Найдем ∟АМС= 180° - 32° - 21° = 127°.

Ответ ∟АМС = 127°

За властивостями бісектрис трикутника, ділячи кут А на дві частини, бісектриса АМ ділить сторону ВС на відрізки, пропорційні іншим двом сторонам трикутника, тобто:
����=����MCBM​=ACAB​
Аналогічно, бісектриса СМ ділить сторону АВ на відрізки, пропорційні іншим двом сторонам трикутника:
����=����MCAM​=BCAB​
Звідси можна отримати вираз для тангенса кута АМС:
tan⁡∠���=����=����−��=����⋅����−��=����⋅����−��=����⋅����−��tan∠AMS=MSAM​=AC−MCAM​=ABAM​⋅BC−ACBC​=MCBM​⋅BC−ACAB​=ACAB​⋅BC−ACBC​
Підставляючи вирази для кутів А і С, отримуємо:
tan⁡∠���=tan⁡64∘⋅tan⁡42∘tan⁡64∘+tan⁡42∘≈1.034tan∠AMS=tan64∘+tan42∘tan64∘⋅tan42∘​≈1.034
Звідси отримуємо:
∠���≈46∘∠AMS≈46∘
Отже, кут АМС дорівнює 46 градусів.