Дано: равнобедренная трапеция АВСD, диагональ АС перпендикулярна СD, АD= 20,3, ∟САD = 30°. Точка О- точка пересечения диагоналей.

Найти площадь трапеции АВСD.

Решение. Треугольник АСD - прямоугольный с углом САD= 30°, в таком треугольнике катет СD, который лежит против угла в 30°, равен половине гипотенузы АD, т. е. 20,3 / 2 = 10,15.

По теореме Пифагора найдем длину АС= √ ( АD² -CD²) = √ (20.3² - 10.15²)=22.70. Т. к. трапеция равнобедренная, то диагонали равны между собой АС = ВD= 22,70. Площадь трапеции равна S = 1/2 • АC • ВD •sin ∟COD.

Найдем ∟СОD. Т. к. трапеция равнобедренная, то ∟ САD = ∟BDA = 30°. B ▲AOD  сумма углов 180°, тогда

∟АОD = 180° - 30° -30° = 120°. Соседний угол СОD = 180° - 120° = 60°.

Подставим в формулу площади S = 1/2 • 22.70 • 22.70 • sin 60°=1/2 • 22.70 • 22.70 • √3/2= 128.82√3.

Ответ S= 128.82√3

Пусть меньшее основание равно a, а высота трапеции равна h.

Так как боковая сторона равнобедренной трапеции перпендикулярна ее диагонали, то данная боковая сторона разбивает трапецию на два прямоугольных треугольника. В одном таком треугольнике угол при большем основании равен 90°, а второй треугольник является равнобедренным с углом в 30° при большем основании.

Таким образом, меньшее основание a равно 20 / sqrt(3), а высота h равна a / 2 * sqrt(3) = 5.

Тогда площадь трапеции равна S = ((20 + 20 / sqrt(3)) / 2) * 5 = (10 * (40 + 20 / sqrt(3))) / 2 = 200 + 100 / sqrt(3) квадратных единиц (округляем до двух знаков после запятой).