Обозначим треугольник АВС, длины сторон АВ =14 см, АС= 16 см, ВС = 6 см. По заданию из вершины большего угла проведен перпендикуляр к плоскости треугольника. Больший угол лежит против большей стороны, т. е. это ∟В(лежит против АС = 16 см).

Перпендикуляр обозначим ВD. Из вершины В на АС опущена высота ВК. Расстояние DК=5√3.

Надо найти длину перпендикуляра ВD. В результате построения имеем прямоугольный треугольник ВDК, в котором ∟DВК= 90°, DК= 5√3. Чтобы найти DВ, надо определить длину высоты ВК. Так как известны все стороны ▲АВС, то по формуле Герона определим площадь  ▲АВС: S= √ p (p - a) (p-b)(p-c), где р -полупериметр (14+ 16 + 6) / 2= 18 см, а, b,с- стороны ▲АВС.

S= √ 18 (18-14) (18-16)(18-6) =24√3, но площадь▲АВС→ S = 1/2 •АС • ВК; отсюда ВК= S / 1/2 AC= 24√3 / 1/2 •16=3√3.

Из ▲ВDK по теореме Пифагора  ВD = √ DK² - BK ² = √(5√3 )² - (3√3 )² =√48 = 4√3.

Для розв'язання цієї задачі ми можемо скористатися формулою для обчислення площі трикутника, яка залежить від його сторін та радіусу вписаного кола.

1. Спочатку знайдемо площу трикутника за формулою Герона:

   p = (14+16+6)/2 = 18 (півпериметр трикутника)

   S = √(p(p-14)(p-16)(p-6)) = 84 см² (площа трикутника)

2. Знайдемо радіус вписаного кола за формулою:

   r = S/p = 84/18 = 14/3 см (радіус вписаного кола)

3. Знайдемо висоту, проведену з вершини більшого кута до більшої сторони трикутника:

   h = (2S)/14 = 12 см (висота трикутника)

4. Знайдемо відрізок, який з'єднує вершину більшого кута з точкою дотику вписаного кола до більшої сторони трикутника:

   a = √(h² + r²) = √((12)² + (14/3)²) ≈ 13.35 см

Отже, довжина перпендикуляра, проведеного з вершини більшого кута трикутника до його площини, дорівнює 13.35 см.