Свойство биссектрисы треугольника. 

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон.

1) АВ / АС = ВК /КС, ВК → х, тогда КС = 11 - х; 10/12= х /( 11-х); 10(11-x)=12x; 110- 10 x = 12x; 22x = 110; x=BK = 5 см;

KC =11- 5 = 6см.

2) АВ→ 5 =16 см; на одну часть 16 / 5 = 3,2 см, тогда АС =3,2 • 3 = 9,6 см;  АВ / АС = ВК /КС=5/3; 5/2 = ВК /КС; ВК = КС + 4 см;

5/3=(КС + 4) / КС; 5 •КС = 3 (КС +4); КС = 6 см; ВК = 6 + 4 = 10 см.

3) ВС = 6 + 10 = 16 см.

Для розв'язування цієї задачі використаємо властивості бісектриси трикутника:

1. За теоремою бісектриси відрізок ВК ділить сторону АВ на відрізки, пропорційні іншим двом сторонам трикутника: АВ:ВС = BK:КС. Отже, маємо:

BK/КС = AB/BC = 16/11

З цього випливає, що BK = (16/27) * 11, а КС = (11/27) * 16.

Отже, ВК = BK - BV = (16/27) * 11 - 5 = 1/27 * 121 - 5 = 2 см,
а КС = CV - CK = 11 - (11/27) * 16 = 11/27 * 5 = 55/27 см.

1. Використовуючи властивості бісектриси, можемо скласти наступну систему рівнянь:

BK/КС = 4/9
AB/AC = 16/AC
AB/BC = 5/3

З першого рівняння отримуємо, що BK = 4КС/9, а BV = 5КС/9.
З другого рівняння отримуємо, що AC = 16 * BC/AB.
З третього рівняння отримуємо, що BC = 3AB/5.

Підставляючи ці вирази у вираз для ВК, отримуємо:

ВК = BK - BV = 4КС/9 - 5КС/9 = -КС/9.

З умови BK - КС = 4 можна отримати, що КС = BK - 4, тоді з першого рівняння маємо:

BK/КС = (BK/(BK-4)) = 4/9

Звідси отримуємо, що BK = 16/5, а КС = 36/5.

Підставляючи ці значення у вираз для ВК, отримуємо:

ВК = -4/45 * AB = -64/45 см.

Отже, АС = AB + BC = 16 + 3/5 * 16 = 64/5 см.

1. Аналогічно до попередньої частини, за властивостями бісектриси можна скласти наступну систему рівнянь:

BK/КС = BV/VC
AB/AC = 5/3
BC/AC = 2/3

З першого рівняння отримуємо, що BK = (5/8) * BC, а КС = (3/8) * BC.
З другого рівняння отримуємо, що AC = (3/5) * AB.
З третього рівняння отримуємо, що BC = (2/3) * AC.

Підставляючи ці вирази у вираз для ВК, отримуємо:

ВК = BK - BV = (5/8) * BC - (3/8) * BC = BC/4.

З умови ВК - КС = 4 можна отримати, що КС = ВК - 4, тоді з першого рівняння маємо:

BK/КС = (BV/(VC+4)) = BV/(BV+4)

Звідси отримуємо, що BV = 20/3, а VC = 48/5.

Підставляючи ці значення у вираз для ВК, отримуємо:

ВК = BC/4 = AC/6 = 20/3 * 3/5 * 1/4 = 1/3 * 4 = 4/3 см.

Отже, ВС = BC + CV = BC + (AC - AV) = (2/3) * AC + (11/3) - 10 = 7/3 см.