Дано: ▲АВС, AB=30, AС=20, ВС=25: АЕ - биссектриса угла a, пересекает ВС в точке Е, КЕ// АС.

Найти периметр четырехугольника АСЕК.

Решение. Биссектриса угла А делит сторону ВС на отрезки, пропорциональные сторонам , прилежащим к вершине А.

АВ / АС = ВЕ / ВС. Обозначим СЕ через х. 30 / 20 = (25 - х )  / х;  составим уравнение 30 х =  20 (25 - х ), находим х = 10,

тогда ВЕ = 15.

Так как КЕ // АС, то  ▲ КВЕ подобен ▲ АВС (первый признак подобия треугольников→ два угла одного равны двум углам другого: угол В - общий, ∟ ВКЕ =∟ ВАС как соответственные). ВК / АВ = ВЕ / ВС, ВК / 30 = 15 / 25,  отсюда ВК = 30• 15 / 25 = 18,

АК = 30 - 18= 12;  КЕ / АС = ВЕ / ВС, отсюда КЕ = ВЕ • АС / ВС,  КЕ = 15 • 20 / 25 =12.  Периметр АСЕК = 12 + 12 +  10 + 20 =54.